טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח.

1 תשע'א תירגול 8 אלגברה לינארית 1 טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של וקטור אם הוכחה: חד חד ערכית ויהי כך ש מכיוון שגם נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח מצד שני נניח שוקטור האפס הוא היחיד המועתק לאפס, ונראה כי ההעתקה אז, מלינאריות ההעתקה נקבל: חח"ע נניח כי כך ש: ומכיוון שהנחנו שרק וקטור האפס מועתק והוכחנו חד חד ערכיות! הוכיחו: לאפס נקבל לכן תרגיל 1-11 נתונה העתקה לינארית אאם קבוצה בת"ל אז גם בת"ל ב אם T חד חד ערכית והקבוצה אברי הקבוצה פיתרון: בת"ל קבוצת וקטורים בת"ל, אז גם אנראה שצירוף לינארי מתאפס של ה- יחייב שכל מקדמיו אפסים: יהי נפעיל את ההעתקה על שני צידי השיוויון ונקבל : צירוף לינארי מתאפס של קבוצת הוקטורים הבת"ל כל מקדמיו אפסים!, אך קיבלנו, ולכן ב יהי צירוף לינארי מתאפס כאשר קבוצה בת"לנראה כי כל המקדמים בהכרח אפסים! מלנאריות נקבל: מכך שלכל העתקה לינארית קיים ומחד חד ערכיות ההעתקה נקבל, ומכאן צירוף לינארי מתאפס של וקטורים בת"ל ולכן כי : כל המקדמים אפסים! כנדרש

2 תרגיל 1-11 אהאם יש העתקה לינארית בהאם יש העתקה לינארית שהיא "על"? שהיא חד חד ערכית? פתרון: א אם הייתה העתקה על כזו, אז נקבל קיום ארבעה וקטורים ב- כך ש: כאשר אחד במקום i ואפס אחרת הוקטורים הסטנדרטיים של עם "1" אבל אז, מהתרגיל הקודם נקבל כי קבוצת ה בת"ל במרחב 3 מימדי בסתירה! היא קבוצה של 4 וקטורים ב בדומה לא', אם הייתה העתקה חד חד ערכית כזו, אז כשנפעיל אותה על קבוצת הוקטורים הסטנדרטיים של נקבל מסעיף ב' בתרגיל הקודם כי 4 תמונות הוקטורים האלו יהיו קבוצה בת"ל במרחב 3 מימדי! ----------------------------------------------------------------------------------------- העתקה הפיכה הגדרה: העתקה היא הפיכה אם יש העתקה כך ש: במקרה זה מסמנים תרגיל 111: בהתאם להגדרה הנ"ל, הוכיחו שאם לינארית, וגם היא הפיכה כאשר לינארית והפיכה, אז גם פיתרון : ההעתקה ההופכית היא חח"ע ועל ונראה את הלינאריות: אז קיים נסמן יהיו לפי הגדרת ההופכי מכיוון ש- לינארית נקבל : ולכן, והוכחנו לנאריות!

3 נראה בתרגיל כי אם מטריצה הפיכה, אז לינארית המוגדרת על ידי מוגדרת על ידי: עבור תרגיל: תהי העתקה לינארית ותהי תת קבוצה כלשהיא, כאשר הוכיחו כי עבור קבוצת וקטורים פיתרון נראה הכלה הפוכה בין הקבוצות: עבור,קיים צירוף לינארי מהצורה : עבור וקטורים ב- וסקלרים מהשדה מכאן : האחרון נובע מכך ש לינאריות לכל מכאן נסיק כי,כאשר השיוויון כיוון שני : יהי,, ויש סקלרים כך ש: אז יש ב- מלינאריות נקבל: מכאן נובע כי וקיבלנו בצירוף שתי ההכלות כי: ובסך הכל הראינו : *העתקה לינארית הפיכה נקראת איזומורפיזם של מרחבים וקטוריים שני מרחבים איזומורפיים) כלומר שיש איזומורפיזם ביניהם ) הם "אותו דבר" במובן שהמבנה הלינארי של שניהם "זהה" בנוסף )תרגיל ) 1-55 מראה כי שני מרחבים לינאריים מאותו מימד הם איזומורפיים!

4 נסמן : איזומורפי ל- על ידי הוכחתם כי עבור מרחב וקטורי נוצר סופית מעל שדה, Ϝ נקבע בסיס כלשהוא עבור המרחבאז ההעתקה ידי: אם המוגדרת על ( כלומר העתקה ששולחת כל וקטור במרחב לוקטור הקואורדינאטות שלו ביחס לבסיס הנ"ל ) היא איזומורפיזם מעובדה זו נסיק כי במרחב וקטורי ממימד מעל שדה Ϝ ובסיס למרחב, אז וקטורים במרחב תלויים לינארית אם ורק אם הוקטורים,תלויים לינארית ב- דוגמא: )מקדמים רציונליים!( הוא מרחב עם מרחב הפולינומים הבא: איזומורפי למרחב בסיס ----------------------------------------------------------------------------------------- תרגיל 1-12 ההעתקה איזומורפיזם פתרון שמוגדרת על ידי הינה לינאריות: חח"ע: על: עבור נקבל כי ניזכר במשפט ההגדרה של העתקה לינארית: עבור מרחבים לינאריים ל- אז עבור וקטורים מעל אותו שדה ובסיס כלשהם במרחב קיימת העתקה לינארית יחידה עבורה )כלומר, העתקה לינארית נקבעת על ידי תמונות הפעולה שלה על איברי בסיס(

5 תרגיל: תהי העתקה לינארית כך ש- יש למצוא את נוסחת ההעתקה )כלומר לוקטור כללי פתרון: שימו לב כי הוקטורים במרחב המקור שלנו מהווים בסיס ל-, לכן עבור וקטור כללי נציג אותו כצירוף לינארי של אברי בסיס זה כלומר נמצא מקדמים כך ש:, שכמובן יהיו תלויים ב- בעצם יש לנו מערכת משוואות כשהמשתנים הם המקדמים, כלומר יש לפתור : נפתור ונקבל : כלומר : מכאן נקבל מלינאריות ההעתקה כי : תרגיל: יהיו שלושה וקטורים ב- :, : אבהינתן שלושה וקטורים ב- האם קיימת העתקה לינארית כך ש: אם קיימת כזו כמה כאלו קיימות ותנו דוגמא לאחת

6 בבדומה ל- א' אבל עם נשתמש מהווים בסיס ל- פתרון לפי משפט ההגדרה, נבדוק האם הוקטורים בשיטה של הצבת הוקטורים האלו בעמודות מטריצה, דירוגה ומציאת מיקומי : האיברים המובילים כדי למצוא קבוצה בת"ל ופורשת מתוך ה-, ומפתרון המערכת נקבל כי הינו צירוף לינארי של השניים האחרים, שהינם בת"ל, על ידי:, לפי הנתונים נקבל :, ולכן לא קיבלתנו סתירה ולכן קיימת העתקה לינארית שמקיימת זאת בעצם קיימות אינסוף העתקות כאלו! למשל, נשלים את לבסיס למרחב על ידי השמת שניהם כשורות מטריצה, דירוגה, והוספת וקטור סטנדרטי שיחד איתם ישלים לבסיס ל- : ולכן נוסיף וקטור סטנדרטי והשלמנו לבסיס כעת נוכל לבחור וקטור כלשהו ב-, נקרא לו, אליו יועתק הוקטור החדש, ואנו יודעים לפי משפט ההגדרה כי יש העתקה לינארית יחידה שמקיימת כך,לכל וקטור כזה ב- נקבל העתקה אחרת, ולכן אינסוף העתקות לינאריות, שכולן מקיימות את הנתון ב- א'! ב במקרה זה ראינו כבר כי אין שיוויון :, וקיבלנו סתירה אך עדיין מתקיים העתקה לינארית כזו! ולכן במקרה זה אין --------------------------------------------------------------------------------------

7 גרעין ותמונה של העתקה לינארית עבור העתקה לינארית נגדיר את המרחבים הבאים: גרעין : תמונת : שני מרחבים אלו שהוגדרו הם מרחבים לינאריים כאשר im(t), V תת מרחב של Ker(T) תת מרחב של W *משפט מרכזי בהקשר הזה הוא משפט הדרגה של העתקה לינארית : *לפי תוצאה קודמת, העתקה כזו היא חד חד ערכית דוגמא : שמוגדרת על ידי: )העובדה שההעתקה לינארית ערכים בפולינום ( נובעת מתכונות של חיבור פולינומים והצבת תזכורת : לפולינום שונה מאפס ממעלה )זה יהיה שימושי בקרוב ( נמצא את גרעין ותמונת ההעתקה: יש לכל היותר שורשים שונים אם ורק אם כלומר אם אבל תנאי זה הוא בעצם על פולינום ממעלה 5 או פחות, בעל שלושה שורשים שונים! ומהתזכורת למעלה נסיק שהפולינום חייב להיות פולינום האפס, כלומר איבר האפס במרחב הפולינומים הנ"ל : כלומר מימדו הוא אפס נמצא את תמונת ההעתקה: כלומר אם קיים פולינום במרחב, שצורתו הכללית כך ש

8 וזה מתורגם לשלוש משוואות בשלושה נעלמים : כשבפיתרון מחפשים את אותם עבורם למערכת הזו יש פיתרון אם נפתור את המערכת המתאימה נקבל שעבור כל שלושה )כלומר "פונקציה על" ( ומכאן מספרים כאלו קיים פיתרון! לכן שמימד התמונה הוא 3 ווידאנו קיום משפט המימדים ---------------------------------------------------------------------------------------- תרגיל: יהי מרחב וקטורי ויהי תת מרחב שלו תהי העתקה לינארית, ואם נתון כי אז נגדיר היא תת מרחב של, יש להוכיח כי פתרון בדיקה ישירה כי מרחב לינארי או על סמך תמונת העתקה שהיא צמצום ההעתקה המקורית לתת המרחב נסתכל על הקבוצה: נבחר בסיס ל- קבוצה זו פורשת את )בדיקה ישירה שוב (, ויספיק להראות כי היא קבוצה בת"ל מזה נסיק את הדרוש! לכן, יהיה צירוף לינארי מתאפס של איברי הקבוצה הזו :, ולכן ומכאן נובע צירוף לינארי מתאפס של וקטורים בת"ל לכן כל מקדמיו אפסים ומש"ל! תרגיל 1-3 העתקה לינארית יש להוכיח: א ב

9, ולכן פתרון : א יהיה פשוט לפי הגדרה אז והוכחנו את א' ב עבור נובע כי עבור איזשהוא אבל אז נקבל ומש"ל תרגיל 118 העתקה לינארית יש להוכיח שהבאים שקולים : א ב ג פתרון נשים לב כי לינארית ומתקיים עבורה משפט המימדים ונקבל : בהינתן א' נקבל כי, ואז אם, אבל מהתרגיל הקודם ידוע כי בנוסף בעלי אותו מימד אז הם שווים זה לזה כשני תתי מרחבים! לכן מתקיים ב' סעיף ב' גורר את א' בהסתמך על התרגיל הקודם נראה כעת כי א' שקול ל-ג' : כיוון אחד נניח כי אז נובע כי האפס נקבל מכך כי, ויהי כלומר,, כלומר נובע כי, ולכן והוכחנו שהחיתוך הוא

11 לא מדובר רק על סכום אלא על סכום ישר כנדרש! כיוון שני : נניח מתקיים ג' ואז מספיק להוכיח )כל סמך תרגיל 5-3 כי מתקיים כנדרש!